CURSO DE ESTADÍSTICA GENERAL

CASO 3

Carga de lianas y fragilidad de los árboles en los bosques subtropicales.

Los profesionales de las ciencias agropecuarias y de las ciencias ambientales se ocupan de diseñar acciones orientadas a manejar sistemas rurales o urbanos con el propósito general de obtener la máxima producción de bienes y servicios con el mínimo deterioro de los recursos naturales como el agua, el suelo o la atmósfera.

En su actividad, deben frecuentemente evaluar características de los sistemas a manejar en términos de variables aleatorias cuantitativas. Estas son variables que toman diferentes valores numéricos como resultado de distintas ejecuciones de un experimento aleatorio. Para realizar sus evaluaciones, los profesionales de ciencias agropecuarias y ambientales necesitan calcular los valores de la probabilidad de que dichas variables aleatorias tomen diferentes valores. Para esto, usan los denominados modelos de distribución de probabilidad. Nos introduciremos en el tema explorando el modelo de distribución Binomial.

En clase, deberemos discutir la resolución del caso planteado a continuación. En el Capítulo 3 del texto (páginas 65 a 75) se presentan las siguientes las herramientas conceptuales y de cálculo necesarias para resolver el caso:

• Variable aleatoria
• Variable aleatoria discreta
• Distribución de probabilidad
• Esperanza matemática de una variable aleatoria discreta
• Varianza de una variable aleatoria discreta
• Desvío estándar de una variable aleatoria discreta
• Distribución Binomial

El caso a examinar:

Se ha sugerido que las lianas que crecen apoyadas en las copas de los árboles podrían aumentar la susceptibilidad que éstos tienen a caer por efecto del viento. Entre las razones de este tipo de asociación podrían contarse un aumento del peso que soportan los troncos de los árboles, una mayor resistencia al viento por parte de las copas (efecto de vela de barco) y una menor resistencia de las raíces de los árboles con lianas derivado de su menor ritmo de crecimiento. Imaginemos un bosque subtropical en donde el 40% de los árboles tiene abundantes lianas en la copa. A lo largo del tiempo se ha registrado que cuando este bosque es afectado por una tormenta fuerte (velocidad del viento >100km/h) se cae el 48% de los árboles. Entre los árboles que caen, el 60% tiene abundantes lianas en la copa. Considerar los siguientes tres experimentos aleatorios:

Experimento Aleatorio I

• En este bosque, se señalará un árbol a elegir al azar.
• Se registrará si tiene o no abundantes lianas en la copa y si se cae o no cuando ocurre una tormenta con vientos > 100 km/h.

1. ¿Qué resultados elementales pertenecen al Espacio Muestral de este experimento?
2. Indicar dos eventos mutuamente excluyentes. ¿Cuál es la probabilidad de cada uno? ¿Cuál es la probabilidad de uno o el otro?
3. Indicar dos eventos no mutuamente excluyentes. ¿Cuál es la probabilidad de cada uno? ¿Cuál es la probabilidad de uno o el otro?
4. ¿Cuál es la probabilidad de señalar un árbol con abundantes lianas y que además se caiga cuando ocurre una tormenta con vientos >100km/h? ¿De qué tipo de probabilidad se trata?
5. Si se señala un árbol con abundantes lianas en la copa, ¿cuál es la probabilidad de que caiga cuando ocurra una tormenta con vientos >100km/h? ¿De qué tipo de probabilidad se trata?
6. Si de este bosque se señala un árbol sin abundantes lianas en la copa, ¿cuál es la probabilidad que caiga cuando ocurre una tormenta con vientos >100km/h? ¿De qué tipo de probabilidad se trata?
7. ¿La caida de los árboles de este bosque por acción del viento es o no estadísticamente independiente de la presencia de lianas en la copa? ¿Qué información justifica la respuesta?

Experimento Aleatorio II

• En este bosque, se elegirán al azar 2 árboles con abundantes lianas en la copa y se identificarán como árbol 1 y árbol 2.
• Luego de una tormenta con vientos > 100 km/h se registrará si cada uno de ellos ha caido o sigue en pie.

1. ¿Qué resultados elementales pertenecen al Espacio Muestral de este experimento?
2. ¿Cuánto vale la probabilidad de que los dos árboles sigan en pie?
3. ¿Cuánto vale la probabilidad de que los dos árboles caigan?
4. ¿Cuánto vale la probabilidad de que el árbol 1 caiga y el árbol 2 siga en pie?
5. ¿Cuánto vale la probabilidad de que el árbol 1 siga en pie y el árbol 2 caiga?
6. ¿Cuánto vale la probabilidad de que alguno de los dos caiga y el restante siga en pie? ¿Se trata de un evento simple o compuesto?

Experimento Aleatorio III

• En este bosque, se elegirán al azar 3 árboles con abundantes lianas en la copa y se identificarán respectivamente como árbol 1, árbol 2 y árbol 3.
• Luego de una tormenta con vientos > 100 km/h se registrará si cada uno de los árboles ha caido o sigue en pie.

1. ¿Qué resultados elementales pertenecen al Espacio Muestral de este experimento?
2. ¿Qué resultados elementales pertenecen al evento "el número de árboles señalados que cae es 0? ¿Se trata de un evento simple o compuesto?
3. ¿Qué resultados elementales pertenecen al evento "el número de árboles señalados que cae es 2? ¿Se trata de un evento simple o compuesto?
4. ¿Por qué el número de áboles señalados que caen es variable aleatoria? ¿Qué valores de dicha variable corresponden a cada uno de los resultados elementales del experimento?
5. Calcular la probabilidad de que el número de árboles señalados que caerán sea 0.
6. Calcular la probabilidad de que el número de árboles señalados que caerán sea 1.
7. Calcular la probabilidad de que el número de árboles señalados que caerán sea 2.
8. Calcular la probabilidad de que el número de árboles señalados que caerán sea 3.
9. Con los valores calculados, construir una tabla con la distribución de probabilidad de la variable aleatoria número de árboles señalados que caen (ver Figura 3.1).
10. Representar la distribución de probabilidad en un gráfico de lineas verticales (ver Figura 3.2). Explicar cómo se interpreta el gráfico.
11. Construir una tabla con la distribución de probabilidad acumulada del número de árboles señalados que caerán (ver Figura 3.3).
12. Construir un gráfico de lineas verticales con la distribución de probabilidad acumulada. ¿Cuál es la probabilidad de que caigan menos que 2 de los árboles señalados?
13. Calcular la esperanza del número de árboles señalados que caerán. ¿Cómo se interpreta este valor?
14. Calcular la varianza del número de árboles que caerán. ¿Cómo se interpreta este valor?

Experimento Aleatorio IV

• En este bosque, se señalarán tres árboles sin abundantes lianas en la copa a elegir al azar.
• Luego de una tormenta con vientos > 100 km/h se registrará cuántos de los 3 se han caído y cuántos siguen en pie.

1. Calcular la distribución de probabilidad del número de árboles señalados que caerán como resultado de este experimento y representarla en un gráfico de lineas verticales.
2. Calcular la esperanza y la varianza del número de árboles señalados que caerán como resultado de este experimento.
3. Comparar el gráfico y los valores de la esperanza y la varianza con los correspondientes al experimento IV y escribir un párrafo sobre las similitudes y diferencias entre las dos distribuciones de probabilidad.